法院受理了王某和李某因斗殴产生的民事纠纷案件。因刘某为目击证人，法官赵某找刘某了解情况。在赵某答应不泄露刘某姓名的情况下，刘某向赵某提供了目击情况的证言。但在开庭时，赵某却当庭公布了刘某的姓名。请问：赵某当庭公布刘某的姓名是否合法？
